单调队列优化 DP

刷到《单调队列优化 DP》，内容很实在，值得细读。这篇把它的关键做法提炼出来，帮你省下通读的时间，结尾附行动建议。

单调队列优化 DP 0. 定位 单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题： 状态转移的「决策集合」是一个 随主状态单调滑动的窗口 ，且 决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦 。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n) 。 1. 朴素形态与优化动机 几乎所有这类 DP 都长这样： [代码示例略] L(i), R(i) 是决策 j 的合法区间； 若区间长度有界（如 R(i) − L(i) ≤ m ），朴素枚举为 O(nm) 。 优化的目标只有一个： 在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j 。 2. 单调队列的本质原理 2.1 它是什么 一个 队首到队尾保持单调性的双端队列 ： 求区间最小 → 维护 递增 队列（队首最小）； 求区间最大 → 维护 递减 队列（队首最大）。 它能以 O(1) 均摊的代价 ，维护一个滑动窗口的最值。

单调队列优化 DP 0. 定位 单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题： 状态转移的「决策集合」是一个 随主状态单调滑动的窗口 ，且 决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦 。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n) 。 1. 朴素形态与优化动机 几乎所有这类 DP 都长这样： [代码示例略] L(i), R(i) 是决策 j 的合法区间； 若区间长度有界（如 R(i) − L(i) ≤ m ），朴素枚举为 O(nm) 。 优化的目标只有一个： 在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j 。 2. 单调队列的本质原理 2.1 它是什么 一个 队首到队尾保持单调性的双端队列 ： 求区间最小 → 维护 递增 队列（队首最小）； 求区间最大 → 维护 递减 队列（队首最大）。 它能以 O(1) 均摊的代价 ，维护一个滑动窗口的最值。 2.2 它为什么能优化 DP 关键不在「队列」本身，而在 决策的支配关系 ： 处理到 i 时，把候选决策 j 依次加入队列； 若新决策 j₂ 比旧决策 j₁ （ j₁ < j₂ ） 更优 ，且 j₂ 比 j₁ 更晚离开窗口 （窗口右移，后进入者更晚被淘汰），那么 j₁ 在 j₂ 存活期间永远不可能再成为最优 → 永久淘汰 j₁ ； 于是队列里始终只保留「仍可能最优」的候选，且按优劣单调排列， 队首即当前窗口最优 。

单调队列优化 DP 0. 定位 单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题： 状态转移的「决策集合」是一个 随主状态单调滑动的窗口 ，且 决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦 。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n) 。 1. 朴素形态与优化动机 几乎所有这类 DP 都长这样： [代码示例略] L(i), R(i) 是决策 j 的合法区间； 若区间长度有界（如 R(i) − L(i) ≤ m ），朴素枚举为 O(nm) 。 优化的目标只有一个： 在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j 。 2. 单调队列的本质原理 2.1 它是什么 一个 队首到队尾保持单调性的双端队列 ： 求区间最小 → 维护 递增 队列（队首最小）； 求区间最大 → 维护 递减 队列（队首最大）。 它能以 O(1) 均摊的代价 ，维护一个滑动窗口的最值。 2.2 它为什么能优化 DP 关键不在「队列」本身，而在 决策的支配关系 ： 处理到 i 时，把候选决策 j 依次加入队列； 若新决策 j₂ 比旧决策 j₁ （ j₁ < j₂ ） 更优 ，且 j₂ 比 j₁ 更晚离开窗口 （窗口右移，后进入者更晚被淘汰），那么 j₁ 在 j₂ 存活期间永远不可能再成为最优 → 永久淘汰 j₁ ； 于是队列里始终只保留「仍可能最优」的候选，且按优劣单调排列， 队首即当前窗口最优 。 注：这就是「单调」的真正含义： 维护的不是值的大小，而是候选决策的优劣序 。

单调队列优化 DP 0. 定位 单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题： 状态转移的「决策集合」是一个 随主状态单调滑动的窗口 ，且 决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦 。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n) 。 1. 朴素形态与优化动机 几乎所有这类 DP 都长这样： [代码示例略] L(i), R(i) 是决策 j 的合法区间； 若区间长度有界（如 R(i) − L(i) ≤ m ），朴素枚举为 O(nm) 。 优化的目标只有一个： 在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j 。 2. 单调队列的本质原理 2.1 它是什么 一个 队首到队尾保持单调性的双端队列 ： 求区间最小 → 维护 递增 队列（队首最小）； 求区间最大 → 维护 递减 队列（队首最大）。 它能以 O(1) 均摊的代价 ，维护一个滑动窗口的最值。 2.2 它为什么能优化 DP 关键不在「队列」本身，而在 决策的支配关系 ： 处理到 i 时，把候选决策 j 依次加入队列； 若新决策 j₂ 比旧决策 j₁ （ j₁ < j₂ ） 更优 ，且 j₂ 比 j₁ 更晚离开窗口 （窗口右移，后进入者更晚被淘汰），那么 j₁ 在 j₂ 存活期间永远不可能再成为最优 → 永久淘汰 j₁ ； 于是队列里始终只保留「仍可能最优」的候选，且按优劣单调排列， 队首即当前窗口最优 。 注：这就是「单调」的真正含义： 维护的不是值的大小，而是候选决策的优劣序 。只要「更优且更晚淘汰 → 永久支配」成立，结构就成立。

单调队列优化 DP 0. 定位 单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题： 状态转移的「决策集合」是一个 随主状态单调滑动的窗口 ，且 决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦 。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n) 。 1. 朴素形态与优化动机 几乎所有这类 DP 都长这样： [代码示例略] L(i), R(i) 是决策 j 的合法区间； 若区间长度有界（如 R(i) − L(i) ≤ m ），朴素枚举为 O(nm) 。 优化的目标只有一个： 在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j 。 2. 单调队列的本质原理 2.1 它是什么 一个 队首到队尾保持单调性的双端队列 ： 求区间最小 → 维护 递增 队列（队首最小）； 求区间最大 → 维护 递减 队列（队首最大）。 它能以 O(1) 均摊的代价 ，维护一个滑动窗口的最值。 2.2 它为什么能优化 DP 关键不在「队列」本身，而在 决策的支配关系 ： 处理到 i 时，把候选决策 j 依次加入队列； 若新决策 j₂ 比旧决策 j₁ （ j₁ < j₂ ） 更优 ，且 j₂ 比 j₁ 更晚离开窗口 （窗口右移，后进入者更晚被淘汰），那么 j₁ 在 j₂ 存活期间永远不可能再成为最优 → 永久淘汰 j₁ ； 于是队列里始终只保留「仍可能最优」的候选，且按优劣单调排列， 队首即当前窗口最优 。 注：这就是「单调」的真正含义： 维护的不是值的大小，而是候选决策的优劣序 。只要「更优且更晚淘汰 → 永久支配」成立，结构就成立。 2.3 可分离性（拆项） 要让「 j 的优劣」独立于 i ，必须能把代价写成： [代码示例略] f(j) 只与决策 j 有关， g(i) 只与主状态 i 有关。

读完别停：把最触动你的一条记下来，这周就用上。能落地的阅读才算数，欢迎回来聊聊你的实践结果。 来源｜博客园《单调队列优化 DP》，https://www.cnblogs.com/lvwangshuOI/p/22956316.html